Skocz do zawartości




Zdjęcie

Paradoks Monty Halla


  • Zaloguj się, aby dodać odpowiedź
22 odpowiedzi w tym temacie

#1

Eury

    Researcher

  • Postów: 3467
  • Tematów: 975
  • Płeć:Mężczyzna
  • Artykułów: 108
Reputacja znakomita
Reputacja

Napisano

Paradoks Monty Halla


Wszyscy pamiętamy teleturniej "Idź na całość", lecący jeszcze niedawno w polskiej telewizji. W końcowej fazie konkursu, gracz wybierał jedną z trzech bramek, licząc na to, że właśnie pod wybraną znajdzie się samochód. Z konkursem tym wiąże się ciekawa matematyczna zagadka, którą postaram się przedstawić w tym temacie.

Monty Hall, urodzony 25 sierpnia 1921 roku, kanadyjski aktor i piosenkarz, gospodarz popularnych programów telewizyjnych. Od jego nazwiska pochodzi znany w rachunku prawdopodobieństwa paradoks Monty Halla. Każdy z nas spotkał się z tym paradoksem oglądając chociażby teleturniej "Idź na całość."

Wszyscy pamiętamy przebieg rozgrywki. Gracz wybiera jedną z trzech bramek. Bramkę nr. 1, nr. 2 lub nr. 3. Następnie prowadzący otwiera jedną z bramek, które nie zostały wybrane i ukazuje nagrodę niższej rangi. Na placu gry pozostają dwie bramki. Wybrana przez gracza i ta nieodsłonięta. Pytanie brzmi: czy gracz powinien zmienić swój wybór, czy raczej pozostać przy wyborze pierwotnym? Jakie znaczenie ma zmiana decyzji?

Innymi słowy, jeśli gracz wybrał bramkę nr 1, a prowadzący odsłonił zawartość bramki nr 2 ukazując "zonka" (czyli przegraną), to czy nowy samochód kryje się za bramką nr. 1 czy raczej za bramką nr. 3?

W tym miejscu, górę biorą neurony i sposób ludzkiego pojmowania. Mózg informuje bowiem, że skoro jedna z bramek została otwarta, to szanse na to, że nagroda kryje się w jednej z pozostałych dwóch, wynoszą 50% czyli inaczej pół na pół. Jednak prawda jest inna. Zostało matematycznie dowiedzione, że jeśli gracz dokona zmiany wyboru z bramki nr 1. na bramkę nr 3. (zgodnie z powyższym przykładem), jego szanse na wygraną wzrosną dwukrotnie.

Jak to możliwe? Nie jest to intuicyjne, ale poprawne. Wielcy matematycy głowili się nad tym problemem przez długi czas. Rozwiązanie jest znane dzisiaj.


Rozpatrzmy problem od strony matematycznej

Wyobraźmy sobie trzy teleturniejowe bramki i gracza, który wybiera jedną z nich. W tym momencie dzieli on bramki na dwa zestawy.

Zestaw A) wybrana bramka
Zestaw B) bramki, które nie zostały wybrane

W tym miejscu, każda z bramek posiada indywidualną szansę na zwycięstwo równą 1 do 3, lub 33%. Biorąc jednak pod uwagę istnienie zestawów A i B, szanse te wyglądają nieco inaczej. Zestaw A jest zestawem zwycięskim z prawdopodobieństwem 1/3. Zestaw B natomiast posiada dwie bramki, a zatem prawdopodobieństwo, że to właśnie B zawiera zwycięską bramkę wynosi 2/3

Zestaw A) - szansa na zwycięstwo = 1/3
Zestaw B) - szansa na zwycięstwo = 2/3

Kiedy prowadzący odsłania jedną z bramek - w zestawie B - ukazując, że jedna z nich nie jest zwycięska, zestaw B wciąż z prawdopodobieństwem równym 2 do 3 jest w naszym schemacie zestawem najlepszym, podczas gdy szansa na zwycięstwo w zestawie A wciąż wynosi tylko 1 do 3. Odsłaniając zawartość jednej z bramek w zestawie B, szanse na to, że druga z nich zawiera nagrodę główną są większe niż początkowy wybór gracza - bramka z zestawu A.

Dołączona grafika


Aby lepiej zobrazować ten przykład, rozszerzmy skalę z 3 do 100 bramek. Gracz wybiera jedną z bramek, a prowadzący odsłania 98 pozostałych, które nie zawierają nagrody. Która z dwóch pozostałych w grze bramek ma większe szanse na zwycięstwo? Ta, wybrana przez gracza na samym początku, gdy wybierał on spośród 100, czy ta, która nie została otwarta spośród 99, których nie wybrał? Odpowiedź jest tylko jedna: szanse na to, że nagroda główna znajduje się w bramce wybranej na początku wynoszą 1 do 100, podczas gdy szansa na to, że nagroda znajduje się w drugiej z nieotwartych bramek wynosi 99 do 100, a zatem jest nieporównywalnie większa.

Podsumowując, zmiana decyzji gracza w powyższych przykładach przynosi mu większą szansę na wygraną, nawet gdy mamy do czynienia z 3 bramkami.

Problem z tą zagadką leży w sposobie rozumowania człowieka. Nasz mózg wyszukuje schematów, odrzucając większość nieschematycznych danych. Taki system działania zwykle sprawdza się doskonale, ponieważ pozwala odrzucać większą część niepotrzebnych informacji, które tylko zbędnie obciążałyby umysł. Czasem jednak potrzeba logicznego myślenia jest konieczna.

Istnieje jeszcze jeden przykład, na zbyt schematyczne myślenie człowieka. Wyobraźmy sobie sytuację, w której podrzucamy monetą 99 razy i za każdym razem otrzymujemy orła. Jakie są szanse na to, że przy kolejnym setnym rzucie, znów wypadnie orzeł? Większość z nas odpowie, że jest to praktycznie niemożliwe, a jednak z matematycznego punktu widzenia szanse te wynoszą 50%.

Powód, dla którego uważamy, że orzeł nie ma prawa wypaść po raz setny z rzędu, związany jest z prawdopodobieństwem takiego scenariusza. Szanse na to, że na 100 rzutów, 100-krotnie uzyskamy orła wynoszą jak 1 do 1,267,650,600,228,229,401,496,703,205,376. Jednakże, jeśli rozpiszemy dowolną sekwencję orłów i reszek dla 100 rzutów, okaże się, że szanse jej uzyskania są równie małe jak uzyskanie serii tych samych rezultatów...

Autor Eurycide
www.paranormalne.pl


oparto o paradoks Monty Halla
inspiracje: damninteresting.com
  • 3



#2

Gregor_
  • Postów: 39
  • Tematów: 0
Reputacja neutralna
Reputacja

Napisano

E tam, dzisiaj nie pierwszy kwiecien :]

Z tymi trzema bramkami masz szanse taka sama czy zmienisz swoja decyzje, czy zostaniesz przy swojej. Dlatego, ze pozostanie przy poprzedniej decyji, jest rowniez wyborem rozwiazania. Czyli w kazdym wypadku masz 50% szans na sukces. Inaczej byloby, gdybys nie mogl zmieniac wyboru po odslonieciu bramki przegranej. Wtedy wciaz masz 1/3 szans, ze dokonales wlasciwego wyboru. Radze poeksperymentowac piszacz prosty program komputerowy symulujacy ta gre.

Co do orlow to rowniez nie dokonca dobre rozumowanie - szanse na uzyskanie dowolnej kombinacji orlow i reszek sa takie same jak na uzyskanie tylko orlow. Ale kombinacji takich jest wieeeele wiecej w porownaniu z jedna kombinacja odpowiadajaca orlom. Dlatego uzyskanie 100 orlow jest duuuzo mniejsze niz uzyskanie jakiejkolwiek innej kombinacji.
  • 0

#3

Gside
  • Postów: 168
  • Tematów: 7
Reputacja Nieszczególna
Reputacja

Napisano

czyli prawdopodobieństwo że samochód jest w bramce numer 3 wynosi ok. 66 % ?
bezsensowne i schematyczne :/
  • 0

#4

Eury

    Researcher

  • Postów: 3467
  • Tematów: 975
  • Płeć:Mężczyzna
  • Artykułów: 108
Reputacja znakomita
Reputacja

Napisano

Program symulujący ten paradoks napisało już wiele osób i za każdym razem dowiedziono, że zmiana decyzji zwiększa szansę na zwycięstwo. O samym paradoksie można poczytać bardzo szeroko tutaj: http://en.wikipedia....ty_Hall_problem


Dołączona grafika



Przykład z orłami jest natomiast jak najbardziej poprawny, gdyż uzyskanie kombinacji:

O O O O O O O O O O

gdzie:

O - orzeł
R - reszka

jest tak samo prawdopodobne jak uzyskanie dokładnie takiej kombinacji:

O R O R O R R O R O

czyli prawdopodobieństwo że samochód jest w bramce numer 3 wynosi ok. 66 % ?
bezsensowne i schematyczne :/


Tu nie chodzi o nr. bramki, tylko o to, że należy zmienić decyzję, jeśli prowadzący odsłoni jedną przegraną bramkę, bez względu na to, gdzie jest samochód.
  • 0



#5

no_user
  • Postów: 78
  • Tematów: 8
Reputacja neutralna
Reputacja

Napisano

czyli prawdopodobieństwo że samochód jest w bramce numer 3 wynosi ok. 66 % ?
bezsensowne i schematyczne :/

Czemu bezsensowne? Całkiem ciekawe. Powiem wprost: niesamowite, bo nigdy nie przyszło mi to do głowy w czasach, gdy był nadawany ten teleturniej, a emocjonowaliśmy się nim całą rodziną.

Kombinacje mogą być:
(zestaw 1 - zestaw 2 3)
wygrana - zonk zonk
zonk - wygrana zonk
zonk - zonk wygrana

Szansa wygranej dla zestawu 1 wynosi: 1 x wygrana / 3 x wszystkie możliwości = 1/3
Szansa wygranej dla zestawu 2 3 wynosi: 2 x wygrana / 3 x wszystkie możliwości = 2/3

Odsłaniamy jednego zonka w zestawie 2 3 - szansa na drugiego obok wynosi: 1/3, gdy w zestawie 1 wynosi wtedy: 2/3.

Ciekawe, do jakich innych życiowych problemów, można zastosować ten rachunek. :)
  • 0

#6

Gregor_
  • Postów: 39
  • Tematów: 0
Reputacja neutralna
Reputacja

Napisano

Tak. Przyznaje sie, ze dalem sie zlapac na ten paradoks. Masz oczywiscie racje, ze jest tak, jak jest.

A o orlach napisalem dokladnie to samo co Ty w drugim poscie. Dodalem tylko, ze kombinacji randomnych jest znacznie wiecej niz kombinacji z nieprzerwanym ciagiem orlow.

Karol_tq: podobny problem to:

Jest trzech wiezniow A, B, C. Wiedza oni, ze dwu z nich sad skazal na smierc, a jednego ulaskawil. Nie wiedza oni niestety, kto jest tym szczesciazem. Kazdy z nich szacuje swoje szanse na 33% na przezycie. Wiezien A nie wytrzymal stresu i przekupil (swoja zlota plomba) straznika. Ten wyjawil mu, ze wiezien C zostanie na pewno stracony (wiecej nie chcial powiedziec, bo liczyl na druga plombe). Jakie szanse na przezycie daje sobie teraz wiezien A?
  • 0

#7

Frost
  • Postów: 104
  • Tematów: 3
Reputacja neutralna
Reputacja

Napisano

a jesli np pod bramka ktora wybralismy na poczatku jest samochod? zawsze mozna odrazu trafic 100%
  • 0

#8

Toperz
  • Postów: 112
  • Tematów: 1
Reputacja neutralna
Reputacja

Napisano

Kiedyś na lekcji matematyki odnośnie prawdopodobieństwa nauczycielka podała nam jakiś przykład na tych bramkach. Podobnie jak i ja prawdopodobnie nie znała tego paradoksu, ale (nie, nie jestem genialnym matematykiem) wpadłem na ten paradoks. Dyskutowałem z nią resztę lekcji ostatecznie przyznając jej racje pod groźbą uwagi za podważanie zasad matematyki... ciekawe co powiedziała by teraz :D
  • 0

#9

endl3ss
  • Postów: 30
  • Tematów: 1
Reputacja neutralna
Reputacja

Napisano

Dopiero na przykładzie 100 bramek do końca to zrozumiałem :) Racja, racja.
  • 0

#10

Pierce
  • Postów: 153
  • Tematów: 7
  • Płeć:Mężczyzna
Reputacja zadowalająca
Reputacja

Napisano

Podobne rozumowanie ma sens, choć mam pewne wątpliwości. Przykład monety jest przeciwstawnym projektem względem przykładu z bramką. To tak, jakby pobożny ojciec wskazał synowi: "widzisz synku Arka Szatna jest równie miła dla ucha, jak pieśni religijne" - czy ojciec wie co mówi, czy czasem się nie pogubił?

Na czym polega niespójność?
Przy każdym rzucie monety rachunek prawdopodobieństwa jest wyliczany od nowa, natomiast w wypadku bramek nadal kalkulujemy dawne wartości. Przecież sytuacja jest identyczna jak w przypadku monet, mamy 2 bramki więc prawdopodobieństwo wynosi 50%. Osoby prowadzące program wiedzą gdzie znajduje się nagroda, oczywistym jest że nie odkrywa się samochodu [z tego co pamiętam był nim legendarny fiat 126 :mrgreen: ] przecież zabawa straciłaby sens. Na pewno tworzono statystyki na temat skłonności ludzi do zmiany decyzji, stąd większa częstotliwość wygrywania nagrody zmieniając pierwotną decyzję ->z badań musiało wynikać że niewielki % ludzi się na to zdecyduje. To nie matematyka, lecz gra.
  • 0

#11 Gość_c✪nvers

Gość_c✪nvers
  • Tematów: 0

Napisano

Ciekawa teoria . Ale ...

Zanim gracz wybierze bramkę ma 33% na trafienie właściwej i jak trafi odrazu ?

i nie bardzo czaje tych powiązań no bo skoro odpadła jedna z 3 bramek to zostają nam 2 czyli 50 /50 % i nie ma w dalszym ciągu brać pod uwagę tej 3 bramki która odpadła :\ poza tym o ile dobrze pamiętam w 1 bramce był zonk w drugiej samochód a w 3 cos innego jakiś zapas kawy czy wycieczka :\ więc nawet jak by odsłonili zonka to zostaje i samochód i to drugie więc zostaje 50 % / 50 % i nie da sie tego zrobić inaczej bo co to zmieni jak zmienie bramkę 1 na 2 ? wcale szans sobie nie zwiększę .
  • 0

#12

frosti
  • Postów: 654
  • Tematów: 3
  • Płeć:Mężczyzna
Reputacja dobra
Reputacja

Napisano

Na pewno tworzono statystyki na temat skłonności ludzi do zmiany decyzji, stąd większa częstotliwość wygrywania nagrody zmieniając pierwotną decyzję ->z badań musiało wynikać że niewielki % ludzi się na to zdecyduje. To nie matematyka, lecz gra.


Na pewno w zależności czy gracz miał wygrać auto czy nie to je przepychali na zgaszonym silniku do odpowiedniej bramki i tyle :lol

Wiadomo matematyka ( i fizyka) swoje a "życie" swoje. Ktoś podał wyżej ciekawy przykład z więźniami. Ja podam inny. Jest człowiek który nigdy nie strzelał z broni palnej (karabinu snajperskiego bez lunety np) i ma trafić w tarczę 1na 1 metr z odległości pół kilometra. Wiadomo mała szansa, że trafi ale jakby za tą tarczą stał jakiś człowiek to 100% że trafi :rotfl: .
  • 0

#13

butibu
  • Postów: 289
  • Tematów: 20
  • Płeć:Mężczyzna
Reputacja ponadprzeciętna
Reputacja

Napisano

Rozpatrzmy problem od strony matematycznej

Wyobraźmy sobie trzy teleturniejowe bramki i gracza, który wybiera jedną z nich. W tym momencie dzieli on bramki na dwa zestawy.

Zestaw A) wybrana bramka
Zestaw B) bramki, które nie zostały wybrane

I tu jest pies pogrzebany.
Nie należy dzielić bramek na dwa zestawy - niby dlaczego?!
Szanse na auto w każdej bramce są jednakowo-prawdopodobne i wynoszą 1/3. W chwili odsłonięcia jednej bramki, przez prowadzonego, nie może ona zostać już wybrana (!). Dlatego liczą się już tylko dwie bramki, dając nam prawdopodobieństwo 1/2, na obecność auta w każdej z nich. Gdy Prowadzący odsłania drugą bramkę (której nie wybraliśmy), a auta w niej nie ma. To dzieje się to samo. Bramka odpada z rachuby. Od tej chwili prawdopodobieństwo wygranej wynosi 1/1.

Dla przykładu z 100 bramkami jest tak samo. Prawdopodobieństwo wynosi 1/100. Po usunięciu jednej bramki liczba ta wzrośnie do 1/99. itd.

Ktoś sobie uronił ten paradoks.
  • 0

#14

nexus6
  • Postów: 1234
  • Tematów: 14
Reputacja znakomita
Reputacja

Napisano

Ciekawa teoria . Ale ...

Zanim gracz wybierze bramkę ma 33% na trafienie właściwej i jak trafi odrazu ?

i nie bardzo czaje tych powiązań no bo skoro odpadła jedna z 3 bramek to zostają nam 2 czyli 50 /50 % i nie ma w dalszym ciągu brać pod uwagę tej 3 bramki która odpadła :\ poza tym o ile dobrze pamiętam w 1 bramce był zonk w drugiej samochód a w 3 cos innego jakiś zapas kawy czy wycieczka :\ więc nawet jak by odsłonili zonka to zostaje i samochód i to drugie więc zostaje 50 % / 50 % i nie da sie tego zrobić inaczej bo co to zmieni jak zmienie bramkę 1 na 2 ? wcale szans sobie nie zwiększę .


Tajemnica tego paradoksu kryje się w tym, że po wybraniu przez gracza jednej z bramek, prowadzący zawsze ujawnia bramkę z zonkiem:

Dołączona grafika

Nie ujawnia bramki losowo ("sorry, ujawniłem niechcący bramkę z samochodem, zostają dwa zonki" ) :mrgreen:

Bez zmiany decyzji masz szanse zostać z jednym z dwóch zonków, które były dostępne na początku. Jeśli obstajesz przy swoim to ujawnienie bramki nic nie zmienia. Możesz jednak wykorzystać to, że prowadzący "podpowiada" Ci, że w jednej z bramek, której nie wybrałeś jest samochód (ujawniając tą z zonkiem).

Użytkownik nexus6 edytował ten post 10.09.2011 - 06:49

  • 1

#15

pazuzu
  • Postów: 767
  • Tematów: 6
  • Płeć:Mężczyzna
Reputacja dobra
Reputacja

Napisano

tu nie ma zadnego paradoksu
calosc sprowadza sie do nastepujacego zdania: wybiera pan jedna bramke czy dwie?

kazdy chyba zrozumie ze wybor 2 bramek daje nam prawdopodobienstwo zgarniecia glownej nagrody rowne 2/3
jesli wybieramy tylko jedna bramke to prawdopodobienstwo wynosi 1/3

wybierajac jakkakolwiek bramke i nie zmieniajac wyboru nasza szansa = 1/3
zmieniajac wybor oddajesz ta 1 bramke i bierzesz tak naprawde 2 pozostale
w trakcie wyboru prowadzacy poprostu otwiera jedna z nich a pozniej druga szansa = 2/3 i obojetne w ktorej jest samochod bo obydwie bramki sa twoje tylko w roznej kolejnosci sa otwierane najpierw pusta pozniej ta druga (no chyba ze obydwie sa puste :) wtedy mamy pecha)

gdzie tu paradoks?

Użytkownik pazuzu edytował ten post 24.09.2011 - 13:08

  • 0


 

Użytkownicy przeglądający ten temat: 0

0 użytkowników, 0 gości oraz 0 użytkowników anonimowych

stat4u